Question

【題目】已知A是圓O：x2+y2＝4上一動點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，動點D滿足.

（1）求動點D的軌跡C的方程；

（2）垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點，點P（3，0），直線PM與軌跡C的另一個交點為Q.問：直線NQ是否過一定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線NQ恒過定點

【解析】

（1）設，用表示出點坐標，代入圓方程化簡即可得的軌跡方程；

（2）設直線斜率為，根據根與系數的關系得出的坐標關系，利用兩點式表示出直線的方程，化簡即可得出結論．

(1)設D(x，y)，∵，∴A(x，)，

代入圓O的方程可得：x24，即1.

∴動點D的軌跡C的方程是：1.

(2)設直線PM的方程為y＝k(x﹣3)，

聯立方程組，消元得：(3+4k2)x2﹣24k2x+36k2﹣12＝0，

∴△＝576k4﹣4(3+4k2)(36k2﹣12)0，解得：k2.

設M(x1，y1)，Q(x2，y2)，則N(x1，﹣y1)，

由根與系數的關系可得：x1+x2，x1x2，

直線NQ的方程為：，

即(x2﹣x1)y﹣(y1+y2)x+x2y1+x1y2＝0，

∵y1+y2＝k(x1﹣3)+k(x2﹣3)＝k(x1+x2)﹣66，

x2y1+x1y2＝x2k(x1﹣3)+x1k(x2﹣3)＝2kx1x2﹣3k(x1+x2)＝2k3k，

∴直線NQ方程為：(x2﹣x1)0，即(x2﹣x1)＝0，

∴直線NQ恒過定點(，0).