【題目】已知函數
.
（1）當
時，判斷函數
的單調性；
（2）若
恒成立，求
的取值范圍；
（3）已知
，證明
.
【答案】（1）當
時，函數
在區間
單調遞增，
單調遞減；
（2）
；
（3）證明過程見解析
【解析】
（1）先求函數的定義域，再求導數
，分別令
和
即可求出單調性；（2）分離變量得
恒成立，轉化為求
的最大值，然后求導數判斷
的單調性即可求出的最大值，從而求得結果；（3）對
兩邊取對數，化簡變形可得
，由（2）可知在
上單調遞減，結合條件即可證明.
由題意可知，函數
的定義域為：
且
.
（1）當時，
，
若，則 
； 若，則 
，
所以函數在區間單調遞增，單調遞減.
（2）若
恒成立，則
恒成立，
又因為
，所以分離變量得恒成立，
設，則
，所以
，
當
時，
；當
時，
，
即函數在
上單調遞增，在上單調遞減.
當
時，函數取最大值，
，所以.
（3）欲證，兩邊取對數，只需證明
，
只需證明
，即只需證明，
由（2）可知在上單調遞減，且
，
所以
，命題得證.
寒假大串聯黃山書社系列答案
寒假創新型自主學習第三學期寒假銜接系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記拋物線
的焦點為
，點
在拋物線上，
，斜率為
的直線
與拋物線
交于
兩點.
（1）求
的最小值；
（2）若
，直線
的斜率都存在，且
；探究：直線是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數據的莖葉圖如圖所示.
（1）試比較甲、乙兩班分別抽取的這10名同學身高的中位數大小；
（2）現從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高176cm的同學被抽到的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦點到短軸的端點的距離為
，離心率為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過點
的直線
交橢圓于
兩點，過點
作平行于
軸的直線
，交直線
于點
，求證：直線
恒過定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，其莖葉圖如圖．根據莖葉圖，下列描述正確的是（ ）
A.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度，且甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
B.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度，但乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
C.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度，且乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
D.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度，但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y＝4x＋2．
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2時，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．
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