Question

設雙曲線C：－y²＝1的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點P、Q．

（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且·＝1，求點T的坐標；

（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；

（3）過點F（1，0）作直線l與（2）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設＝λ·，若λ∈[－2，－1]，求|＋|（T為（1）中的點）的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2，0）（2）（3）

【解析】(1)由雙曲線方程可得A₁, A₂,設直線m的方程為x=a,代入橢圓方程求出P,Q的坐標，再根據(jù)·＝1建立關于a的方程，求出a值，從而求出T點坐標.

(2)設出直線m:x=a,然后求出P、Q的坐標，再求出直線A₁P與直線A₂Q方程，從而解方程組求出交點M的參數(shù)方程，消去參數(shù)a之后即可得到點M的軌跡E的普通方程.

（3）容易驗證直線l的斜率不為0.故可設直線l的方程為  中，得，再根據(jù)韋達定理可得y₁,y₂與k的兩個關系式，再根據(jù)得到,從而可知

問題互此轉化為關于k的函數(shù)來解決即可.

解：（1）由題，得，設

則

由  …………①

又在雙曲線上，則   …………②

聯(lián)立①、②，解得    由題意，

∴點T的坐標為（2，0）   …………3分

（2）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）

由A₁、P、M三點共線，得   …………③

由A₂、Q、M三點共線，得    …………④

聯(lián)立③、④，解得    ∵在雙曲線上，

∴∴軌跡E的方程為  …………8分

（3）容易驗證直線l的斜率不為0.故可設直線l的方程為  中，得   設

則由根與系數(shù)的關系，得  ……⑤      ……⑥  

∵ ∴有      將⑤式平方除以⑥式，得

   由

  ………………10分

∵

又

故……………….12分

令    ∴，即         ∴

而 ，  ∴

∴…………………….14分