Question

設雙曲線C：－y²＝1(a＞0)與直線l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A、B．

(1)求雙曲線C的離心率e的取值范圍；

(2)設直線l與y軸的交點為P，取＝，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將y＝－x＋1代入雙曲線－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0．① 　　∴ 　　解之，得0＜a＜且a≠1． 　　又雙曲線的離心率e＝， 　　∵0＜a＜，且a≠1， 　　∴e＞且e≠． 　　(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0，1)， 　　∵＝， 　　∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)． 　　由此得x1＝x2． 　　由于x1、x2是方程①的兩根，且1－a2≠0， 　　∴x2＝，x22＝． 　　消去x2得，由a＞0得a＝． 　　解析：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關系，聯立直線與雙曲線方程是必須的，第(1)問利用△＞0可得a的范圍，再寫出離心率關于a的表達式，可求出離心率的范圍；第(2)問由韋達定理及向量坐標關系，可得到關于a的方程，解出a即可．