Question

【題目】已知函數.

(1)討論的單調性；

(2)若有兩個極值點，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

(1)根據的取值對導函數的正負的影響分類討論即可.

(2)根據題意，需求的最值，結合(1)可得且，于是此式可轉化為關于的函數，再利用導數求其最值即可.

（1）由題意得，

，

令.

①當時，恒成立，則在上單調遞減.

②當時，，函數與軸有兩個不同的交點，

則，

所以當時，單調遞增；

當時，單調遞減.

③當時，，函數與軸有兩個不同的交點，

則，

所以時，單調遞減；

時，單調遞增；

時，單調遞減.

綜上所述：當時，在上單調遞減.

當時，時，單調遞增；

時，單調遞減.

當時，時，單調遞減；

時，單調遞增；

時，單調遞減.

（2）由（1）知：時有兩個極值點，

且為方程的兩根，

.

.

所以.

所以在時恒成立.

令，則.

令則，

所以在上單調遞減.又，

所以在上恒成立，即.所以.

所以在上為減函數.所以.

所以，即的取值范圍是.