Question

【題目】定義域為集合上的函數滿足：①；②（）；③、、成等比數列；這樣的不同函數的個數為________

Answer 1

【答案】

【解析】

分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比數列時對應的項，再運用計數原理求出這樣的不同函數f（x）的個數即可．

解：經分析，f（x）的取值的最大值為x，最小值為2﹣x，并且成以2為公差的等差數列，故f（6）的取值為6，4，2，0，﹣2，﹣4．

f（12）的取值為12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，

所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比數列時，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有兩種情況：

①f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4；②f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4．

|f（x+1）﹣f（x）|＝1（x＝1，2，…，11），f（x+1）＝f（x）+1，或者f（x+1）＝f（x）﹣1，即得到后項時，把前項加1或者把前項減1．

（1）當f（1）＝1、f（6）＝2、f（12）＝4時；將要構造滿足條件的等比數列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．

從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數值從1變化到2，故應從5次中選擇3步加1，剩余的兩次減1．對應的方法數為10種．

從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數值從2變化到4，故應從6次變化中選擇4次增加1，剩余兩次減少1，對應的方法數為15種．

根據分步乘法原理，共有10×15＝150種方法．

（2）當f（1）＝1、f（6）＝﹣2、f（12）＝4時，將要構造滿足條件的等比數列分為兩步，第一步：從f（1）變化到f（6），第二步：從f（6）變化的f（12）．

從f（1）變化到f（6）時有5次變化，函數值從1變化到﹣2，故應從5次中選擇1步加1，剩余的4次減1．對應的方法數為5種．

從f（6）變化到f（12）時有6次變化，函數值從﹣2變化到4，故應從6次變化中選擇6次增加1，對應的方法數為1種．

根據分步乘法原理，共有5×1＝5種方法．

綜上，滿足條件的f（x）共有：150+5＝155種．

故填：155．