Question

例2：設數列{a_n}滿足關系式：a₁=-1，a_n=

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an-1-3(n≥2，n∈N*)
試證：（1）試求數列{a_n}的通項公式．
（2）b_n=lg（a_n+9）是等差數列．
（3）若數列{a_n}的第m項的值am=

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(29-38)，試求m

Answer 1

分析：（1）由題意可知an+9=

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[(an-1)+9] ，n≥2，n∈N*，令T_n=a_n+9，則Tn是公比為

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的等比數列，，由此可知T1=a1+9=8，Tn=12×(

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)n，從而導出an=12×(

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3

)n-9．
（2）由題意可知b_n=lg（a_n+9）=lg12+（lg2-lg3）n．所以{bn}是公差為（lg2-lg3）的等差數列．
（3）由題設條件得a_m=（2⁹-3⁸）÷3⁶=8×(

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)6-9=12×(

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)7-9，即a_m=a₇，所以m=7．

解答：解：（1）∵a₁=-1，a_n=

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an-1-3(n≥2，n∈N*)，
∴an+9=

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an-1+6，n≥2，n∈N*，
∴an+9=

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3

[(an-1)+9] ，n≥2，n∈N*，
令T_n=a_n+9，則Tn是公比為

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的等比數列，T1=a1+9=8，Tn=12×(

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)n，
∴an=12×(

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)n-9，
（2）∵b_n=lg（a_n+9）=lg[12×(

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)n] =lg12+nlg

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，
=lg12+（lg2-lg3）n．
由數列{b_n}通項公式可知，{bn}是公差為（lg2-lg3）的等差數列．
（3）若數列數列{a_n}的第m項的值am=

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(29-38)，化簡得
a_m=（2⁹-3⁸）÷3⁶=8×(

2

3

)6-9=12×(

2

3

)7-9
由a_n通項公式可知，a_m=a₇，m=7．

點評：本題考查數列知識人綜合運用，解題時要注意計算能力的培養．