Question

（2013•房山區一模）對于實數x，將滿足“0≤y＜1且x-y為整數”的實數y稱為實數x的小數部分，用記號＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜

8

7

＞=

1

7

．對于實數a，無窮數列{a_n}滿足如下條件：a₁=＜a＞，a_n+1=

＜ 1 an ＞ an≠0 0        an=0

，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a=

2

，求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當a＞

1

4

時，對任意的n∈N⁺，都有a_n=a，求符合要求的實數a構成的集合A；
（Ⅲ）若a是有理數，設a=

p

q

 （p是整數，q是正整數，p，q互質），對于大于q的任意正整數n，是否都有a_n=0成立，證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）利用新定義，可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）分類討論，利用_n=a，即可求符合要求的實數a構成的集合A；
（Ⅲ）由a是有理數，可知對一切正整數n，a_n為0或正有理數，可設an=

pn

qn

（p_n是非負整數，q_n是正整數，且p_n，q_n互質），利用反證法可得結論．

解答：（Ⅰ）解：a1=?

2

＞=

2

-1，a2=?

1

a1

＞=?

1

2 -1

＞=?

2

+1＞=

2

-1…．（2分）
若ak=

2

-1，則ak+1=[

1

ak

]=[

2

+1]=

2

-1
所以an=

2

-1…（3分）
（Ⅱ）解：∵a₁=?a＞=a，a＞

1

4

所以

1

4

＜a＜1，從而1＜

1

a

＜4
①當

1

2

＜a＜1，即1＜

1

a

＜2時，a2=?

1

a1

＞=?

1

a

＞=

1

a

-1=a
所以a²+a-1=0
解得：a=

-1+ 5

2

，（a=

-1- 5

2

∉(

1

2

，1)，舍去）         …．（4分）
②當

1

3

＜a≤

1

2

，即2≤

1

a

＜3時，a2=?

1

a1

＞=?

1

a

＞=

1

a

-2=a，
所以a²+2a-1=0
解得a=

-2+ 8

2

=

2

-1，（a=-

2

-1∉(

1

3

，

1

2

]，舍去）  …（5分）
③當

1

4

＜a≤

1

3

時，即3≤

1

a

＜4時，a2=?

1

a1

＞=?

1

a

＞=

1

a

-3=a
解得a=

-3+ 13

2

（a=

-3- 13

2

∉(

1

4

，

1

3

]，舍去）      …（6分）
綜上，集合A={

-1+ 5

2

，

2

-1，

-3+ 13

2

}．…（7分）
（Ⅲ）證明：結論成立．…（8分）
由a是有理數，可知對一切正整數n，a_n為0或正有理數，
可設an=

pn

qn

（p_n是非負整數，q_n是正整數，且p_n，q_n互質）
由a1=?

p

q

＞=

p1

q1

，可得0≤p₁＜q；           …（9分）
若p_n≠0，設q_n=αp_n+β（0≤β＜p_n，α，β是非負整數）
則

qn

pn

=α+

β

pn

，而由an=

pn

qn

得

1

an

=

qn

pn

an+1=?

1

an

＞=?

qn

pn

＞=

β

pn

，故p_n+1=β，q_n+1=p_n，可得0≤p_n+1＜p_n …（11分）
若p_n=0則p_n+1=0，
若a₁，a₂，…，a_q均不為0，則正整數p_n（n=1，2，3，…，q）互不相同且都小于q，
但小于q的正整數共有q-1個，矛盾．
故a₁，a₂，…，a_q中至少有一個為0，即存在m（1＜m≤q），使得a_m=0．
從而數列{a_n）中a_m以及它之后的項均為0，
所以對于大于q的自然數n，都有a_n=0   …（13分）

點評：本題考查數列遞推式，考查反證法的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度大．