Question

7．函數f（x）=|2x-1|，定義f₁（x）=x，f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知函數g（x）=f_m（x）-x有8個零點，則m的值為（　　）

• A． 8
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由已知條件對x的取值范圍分類，求出f_m（x），由此能求出使函數g（x）=f_m（x）-x有8個零點的實數m的值．

解答 解：（1）當x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]時，f₂（x）=f（f₁（x））=|2x-1|=1-2x，
①當x∈（-∞，$\frac{1}{4}$]時，f₃（x）=|1-4x|=1-4x，
當x∈（-∞，$\frac{1}{8}$]時，f₄（x）=|1-8x|=1-8x，
此時，g（x）=f₄（x）-x=1-9x，有零點x₁=$\frac{1}{9}$．
當x∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]時，f₄（x）=|1-8x|=8x-1，
此時，g（x）=f₄（x）-x=7x-1，有零點${x}_{2}=\frac{1}{7}$．
②當x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時，f₃（x）=|1-4x|=4x-1，
當x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]時，f₄（x）=|8x-3|=3-8x，
此時，g（x）=f₄（x）-x=3-9x，有零點${x}_{3}=\frac{3}{9}$．
當x∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$]時，f₄（x）=|8x-3|=8x-3，
此時，g（x）=f₄（x）-x=7x-3，有零點${x}_{4}=\frac{3}{7}$；
（2）當x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時，f₂（x）=|2x-1|=2x-1，
③當x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]時，f₃（x）=|4x-3|=3-4x，
當x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]時，f₄（x）=|5-8x|=5-8x，
此時，g（x）=f₄（x）-x=5-9x，有零點x₅=$\frac{5}{9}$．
當x∈（$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]時，f₄（x）=|5-8x|=8x-5，
此時，g（x）=f₄（x）-x=7x-5，有零點x₆=$\frac{5}{7}$．
④當x∈（$\frac{3}{4}$，+∞）時，f₃（x）=|4x-3|=4x-3，
當x∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]時，f₄（x）=|8x-7|=7-8x，
此時，g（x）=f₄（x）-x=7-9x，有零點x₇=$\frac{7}{9}$．
當x∈（$\frac{7}{8}$，+∞）時，f₄（x）=|8x-7|=8x-7，
此時，g（x）=f₄（x）-x=7x-7，有零點x₈=1．
綜上所述，若函數g（x）=f_m（x）-x有8個零點．則m=4．
故選：B．

點評 本題考查滿足條件的實數值的求法，考查分類討論的數學思想方法，注意函數性質和分類討論思想的合理運用，是中檔題．