Question

14．命題“?x∈（0，+∞），x²-3ax+9＜0”為假命題，則實數a的取值范圍為a≤2．

Answer 1

分析 若命題“?x∈（0，+∞），x²-3ax+9＜0”為假命題，則命題“?x∈（0，+∞），x²-3ax+9≥0”為真命題，即命題“?x∈（0，+∞），a≤$\frac{{x}^{2}+9}{3x}$=$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$”為真命題，結合基本不等式可得答案．

解答 解：若命題“?x∈（0，+∞），x²-3ax+9＜0”為假命題，
則命題“?x∈（0，+∞），x²-3ax+9≥0”為真命題，
即命題“?x∈（0，+∞），a≤$\frac{{x}^{2}+9}{3x}$=$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$”為真命題，
∵x∈（0，+∞）時，$\frac{x}{3}+\frac{3}{x}$≥$2\sqrt{\frac{x}{3}•\frac{3}{x}}$=2，
故a≤2，
故答案為：a≤2．

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查的知識點是特稱命題，函數恒成立問題，難度中檔．