Question

請您設計一個帳篷,它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱,上部的形狀是側棱長為3 m的正六棱錐(如右圖所示).試問當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時,帳篷的體積最大?

Answer 1

解:設OO₁為x m,則1＜x＜4.由題設可得正六棱錐底面邊長為(單位:m)

=.于是底面正六邊形的面積為(單位:m²)

6··()²=(8+2x-x²).

帳篷的體積為(單位:m³)V(x)=(8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³).

求導數,得V′(x)=(12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合題意,舍去),x=2.當1＜x＜2時,V′(x)＞0,V(x)為增函數;

當2＜x＜4時,V′(x)＜0,V(x)為減函數.所以當x=2時,V(x)最大.答:當OO₁為2 m時,帳篷的體積最大.