Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的焦點在軸上，左右頂點分別為，上頂點為，拋物線分別以、為焦點，其頂點均為坐標原點，與相交于直線上一點．

（1）求橢圓及拋物線的方程；

（2）若動直線與直線垂直，且與橢圓交于不同的兩點，已知點，求的最小值．

Answer 1

（1）橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2：;（2）

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數法求出的值；（2）求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程；（3）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程．第二步：聯立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯立，消去一個元，得到一個一元二次方程．第三步：求解判別式：計算一元二次方程根．第四步：寫出根與系數的關系．第五步：根據題設條件求解問題中結論．

試題解析：（1）由題意可得A（a，0），B（0，），

故拋物線C1的方程可設為，C2的方程為

1分

由 得 3分

∴橢圓C:，拋物線C1：拋物線C2： 5分；

（2）由（1）知，直線OP的斜率為，所以直線的斜率為，設直線方程為

由，整理得

設M（）、N（），則 7分

因為動直線與橢圓C交于不同兩點，所以

解得 8分

，

∵，

∴ 10分

∵，所以當時，取得最小值，

其最小值等于 12分

考點：橢圓、拋物線的定義及性質以及直線與橢圓的位置關系．