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【題目】如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區域.當地政府為了緩解該古跡周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個入口P(點P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點分別是B,P.當新建的兩條公路總長最小時,投資費用最低.設∠POA=,公路MB,MN的總長為

(1)求關于的函數關系式并寫出函數的定義域

(2)當為何值時投資費用最低并求出的最小值

【答案】(1) ;(2) 當時,投資費用最低,此時的最小值為.

【解析】

(1)由題意,設利用平面幾何的知識和三角函數的關系式及三角恒等變換的公式,即可得函數的關系式;

(2)利用三角函數的基本關系式和恒等變換的公式,求得的解析式,再利用基本不等式,即可求得投資的最低費用,得到答案.

(1)連接,在中,,故

據平面幾何知識可知,

中,,故

所以

顯然,所以函數的定義域為

即函數關系式為,且

(2)化簡(1)中的函數關系式可得:

,則,代入上式得:

當且僅當時取“=”,此時

求得,又,所以

∴當時,投資費用最低,此時的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某理科考生參加自主招生面試,從7道題中(4道理科題3道文科題)不放回地依次任取3道作答.

1)求該考生在第一次抽到理科題的條件下,第二次和第三次均抽到文科題的概率;

2)規定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題,該考生答對理科題的概率均為,答對文科題的概率均為,若每題答對得10分,否則得零分.現該生已抽到三道題(兩理一文),求其所得總分的分布列與數學期望.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】設函數,曲線在點處的切線方程為

(1)求的值;

(2)若,求函數的單調區間;

(3)設函數,且在區間內為減函數,求實數的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知函數f(x)=1+x﹣ + ﹣…+ + ,則下列結論正確的是(
A.f(x)在(0,1)上恰有一個零點
B.f(x)在(0,1)上恰有兩個零點
C.f(x)在(﹣1,0)上恰有一個零點
D.f(x)在(﹣1,0)上恰有兩個零點

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】某中學為研究學生的身體素質與課外體育鍛煉時間的關系,對該校200名高三學生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間進行調查,如下表:(平均每天鍛煉的時間單位:分鐘)

將學生日均課外體育運動時間在上的學生評價為課外體育達標”.

平均每天鍛煉的時間(分鐘)

總人數

20

36

44

50

40

10

(1)請根據上述表格中的統計數據填寫下面列聯表,并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為課外體育達標與性別有關?

課外體育不達標

課外體育達標

合計

20

110

合計

(2)從上述200名學生中,按課外體育達標”、“課外體育不達標分層抽樣,抽取4人得到一個樣本,再從這個樣本中抽取2人,求恰好抽到一名課外體育不達標學生的概率.

參考公式:,其中.

參考數據:

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知m、n∈R+ , f(x)=|x+m|+|2x﹣n|.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若f(x)的最小值為2,證明:4(m2+ )的最小值為8.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】函數f(x)的定義域D={x|x≠0},且滿足對于任意x1x2D.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)f(1)的值;

(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;

(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)(0,+∞)上是增函數,求x的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】如圖所示,為一臺冷軋機的示意圖,冷軋機由若干對軋輥組成,帶鋼從一端輸入,經過各對軋輥逐步減薄后輸出.(軋鋼過程中,鋼帶寬度不變,且不考慮損耗)

一對對軋輥的減薄率.

(1)輸入鋼帶的厚度為,輸出鋼帶的厚度為,若每對軋輥的減薄率不超過,問冷軋機至少需要安裝幾對軋輥?

(2)已知一臺冷軋機共有4對減薄率為的軋輥,所有軋輥周長均為,若第對軋輥有缺陷,每滾動一周在剛帶上壓出一個疵點,在冷軋機輸出的剛帶上,疵點的間距為,易知,為了便于檢修,請計算.

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科目:高中數學 來源: 題型:

【題目】已知為等比數列的前項和,,若數列也是等比數列,則等于( )

A. 2n B. 3n C. D.

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同步練習冊答案
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