Question

13．已知圓C：（x-m）²+（y-n）²=9的圓心在第一象限，直線l：x+2y+2=0與圓C相交的弦長為4，則$\frac{m+2n}{mn}$的最小值為$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 根據直線和圓相交的弦長公式，求出m，n的關系，結合基本不等式進行求解即可．

解答 解：圓心C（m，n），半徑R=3，
∵圓心在第一象限，
∴m＞0，n＞0．
∵直線l：x+2y+2=0與圓C相交的弦長為4，
∴圓心到直線的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{2}^{2}}=\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$，
即$\frac{|m+2n+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，即m+2n+2=5，
則m+2n=3，即$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$=1，
則$\frac{m+2n}{mn}$=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{m}$）×（$\frac{m}{3}$+$\frac{2n}{3}$）=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{m}{3n}$+$\frac{4n}{3m}$≥$\frac{4}{3}$+2$•\sqrt{\frac{m}{3n}•\frac{4n}{3m}}$=$\frac{4}{3}+\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
當且僅當$\frac{m}{3n}$=$\frac{4n}{3m}$，即m=2n時取等號，
故答案為：$\frac{8}{3}$．

點評 本題主要考查基本不等式的應用，根據直線與圓相交的性質，利用1的代換是解決本題的關鍵．