Question

17．設S_n是數列{a_n}的前n項和，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1，則S_n=-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 a_n+1=S_nS_n+1，可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，再利用等差數列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=S_nS_n+1，∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，首項為-1，公差為-1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
解得S_n=-$\frac{1}{n}$．
故答案為：$-\frac{1}{n}$．

點評 本題考查數列遞推關系、等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．