Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，點是橢圓上的點，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）點在橢圓上，若點與點關于原點對稱，連接并延長與橢圓的另一個交點為，連接，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據條件列出關于兩個方程，解方程組可得值，即得橢圓的方程；（2）聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式可得底邊長（用直線斜率表示），根據點到直線距離公式可得三角形的高（用直線斜率表示），根據三角形面積公式可得面積，關于直線斜率的函數關系式，最后根據分式函數求值域方法求函數最值，注意討論斜率不存在的情形.

試題解析：（1）依題意，，，，解得。

故橢圓的方程為.

(2)當直線的斜率不存在時，不妨取，

故.

②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

聯立方程化簡得，

設，則，

，

點到直線的距離，

因為是線段的中點，所以點到直線的距離為，

∴.

綜上，面積的最大值為.