Question

（2009•溫州二模）已知曲線C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）過C外一點A（1，0）引C的兩條切線，若它們的傾斜角互補，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數與單調性的關系轉化為最值恒成立問題．
（Ⅱ）通過導數求出切線斜率，利用切線的傾斜角互補，建立斜率關系，可求a．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的導數為f'（x）=3x²-a，
因為f（x）在區間[1，2]上是增函數，
所以f'（x）≥0在區間[1，2]上恒成立． 
即a≤3x²恒成立．
因為當1≤x≤2時，
3x²≥3，
可得a≤3．  
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，過點A（1，0）作曲線C的切線，
設切點（x₀，f（x₀）），
則切線方程為：y=（3x₀-a）（x-1）
因為f(x0)=

x

3 0

-ax0+a，
所以將（x₀，f（x₀））代入得：
f(x0)=

x

3 0

-ax0+a=（3x₀-a）（x₀-1），
整理得2

x

3 0

-3x0=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

         
故滿足條件的切線只有兩條，且它們的斜率分別為-a與

27

4

-a，
因為兩條切線的傾斜角互補，
所以-a+

27

4

-a=0，
解得a=

27

8

．

點評：本題考查導數的單調性與導數之間的關系，以及利用導數求切線方程．