Question

我們知道，若a、b∈R⁺，則有不等式（

a + b

2

）²≤

a+b

2

成立（當且僅當a=b時等號成立），從（

a + b

2

）²-

a+b

2

=

a+b+2 ab

4

-

a+b

2

=-

( a - b )2

4

≤0易證，對此不等式可考慮從指數和元數上分別進行推廣，得到：
①若a、b∈R，則（

a+b

2

）2≤

a2+b2

2

；
②若a、b∈R，則（

a+b

2

）²≤

a3+b3

2

；
③若a、b∈R，則（

a+b

2

）⁴≤

a4+b4

2

；
④若a、b、c∈R，則（

a+b+c

3

）²≤

a2+b2+c2

3

；
⑤若a、b、c∈R，則（

a + b + c

3

）²≤

a+b+c

3

．
其中正確的是

 

（把你認為正確的結論的序號都填上）

Answer 1

考點：歸納推理

專題：推理和證明

分析：根據題意，對不等式進行推廣，對正確的進行分析證明，對錯誤的舉出反例即可．

解答： 解：根據a、b∈R⁺，不等式（

a + b

2

）²≤

a+b

2

成立（當且僅當a=b時等號成立），
對此不等式從指數和元數上分別進行推廣，得到：
①若a、b∈R，則（

a+b

2

）2≤

a2+b2

2

，正確；
∵(

a+b

2

)2≤

a2+b2+2ab

4

≤

a2+b2+a2+b2

4

≤

a2+b2

2

，當且僅當a=b時“=”成立；
②若a、b∈R，則（

a+b

2

）²≤

a3+b3

2

，錯誤，如a=b=-1時，(

a+b

2

)2＞0＞

a3+b3

2

；
③若a、b∈R，則（

a+b

2

）⁴≤

a4+b4

2

，正確；
④若a、b、c∈R，則（

a+b+c

3

）²≤

a2+b2+c2

3

，正確；
⑤若a、b、c∈R，則（

a + b + c

3

）²≤

a+b+c

3

，錯誤，a、b、c＜0時不等式無意義．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了推理與證明的應用問題，合情的推理有歸納推理與演繹推理，猜想的正確性需要來證明．