Question

已知數列{a_n}滿足：a_n+2=3a_n+1-2a_n，a₁=2，a₂=4，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1-a_n}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n（a_n+1），{b_n}的前n項和記為S_n，求S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）將已知的遞推關系變形，利用等比數列的定義，證得數列{a_n+1-a_n}成等比數列，再利用累加法求出數列{a_n}的通項公式，
（2）先求出{b_n}的前n項通項公式，利用等比前n項和公式求出．

解答： 解：（1）∵a_n+2=3a_n+1-2a_n
∴a_n+2-a_n+1=2a_n+1-2a_n=2（a_n+1-a_n），
∵a₁=2，a₂=4，
∴a₂-a₁=2，
∴數列{a_n+1-a_n}是以2為首項，2為公比的等比數列
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴a₂-a₁=2，a₃-a₂=2²，…，a_n-a_n-1=2^n-1，
∴a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n-a_n-1=2+2²+…+2^n-1=

2(1-2n-1)

1-2

=-2+2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，
（2）∵b_n=a_n（a_n+1），
∴b_n=2ⁿ（2ⁿ+1）=2²ⁿ+2ⁿ=4ⁿ+2ⁿ
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（2+2²+…+2ⁿ）+（4+4²+…+4ⁿ）=

2(1-2n)

1-2

+

4(1-4n)

1-4

=2ⁿ⁺¹+

4n+1

3

-

10

3

點評：本題主要考查了數列的遞推公式，前n項和公式，屬于中檔題