Question

如圖，橢圓

x2

16

+

y2

9

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，一條直線l經過點F₁與橢圓交于A、B兩點．
（1）求△ABF₂的周長；
（2）若直線l的傾斜角為45°，求△ABF₂的面積．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由橢圓的定義，得出|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂=2a，求出△ABF₂的周長；
（2）求出直線l的方程，與橢圓方程聯立，消去x，由根與系數的關系求出|y₁-y₂|的值，即可計算△ABF₂的面積S．

解答： 解：（1）在橢圓

x2

16

+

y2

9

=1中，
|AF₁|+|AF₂|=|BF₁|+|BF₂|=2a=8，
∴△ABF₂的周長為
|AB|+|BF₂|+|AF₁|=|BF₁|+|AF₁|+|AF₂|+|BF₂
=2a+2a=16；
（2）當直線l的傾斜角為45°時，直線的向量是k=tan45°=1，且過焦點F₁（-

7

，0）；
∴直線方程為y=x+

7

；
∴

y=x+ 7 x2 16 + y2 9 =1

，
消去x，得9(y-

7

)2+16y²=144，
整理得25y²-18

7

y-81=0，
∴

y1+y2= 18 7 25 y1y2=- 81 25

；
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 18 7 25 )2-4×(- 81 25 )

=

72

25

2

；
∴△ABF₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|•|y₁-y₂|=

1

2

×2

7

×

72

25

2

=

72

25

14

．

點評：本題考查了直線與橢圓的方程的應用問題，也考查了橢圓的定義的應用問題，是中檔題．