Question

【題目】拋物線C:y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過(guò)原點(diǎn)O作傾斜角為的直線n交l于點(diǎn)A， 交⊙M于另一點(diǎn)B，且AO＝OB＝2．

(1)求⊙M和拋物線C的方程；

(2)若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；

(3)過(guò)l上的動(dòng)點(diǎn)Q向⊙M作切線，切點(diǎn)為S，T，求證：直線ST恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)(x－2)2＋y2＝4。 (2)2.(3).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)可求出的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出的方程；（2）先表示出然后根據(jù)點(diǎn)在拋物線上將消去，求關(guān)于的二次函數(shù)的最小值即可；（3）以點(diǎn)這圓心，為半徑作，則線段即為與的公共弦，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)，求出直線的方程，使直線與無(wú)關(guān)，可求出定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)因?yàn)?/span>＝OA·cos60°＝2×＝1，即p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x

設(shè)⊙M的半徑為r，則r＝·＝2，所以⊙M的方程為(x－2)2＋y2＝4。

(2)設(shè)P(x，y)(x≥0)，則·＝(2－x，－y)(1－x，－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2，

所以當(dāng)x＝0時(shí)，·有最小值為2.

(3)以點(diǎn)Q這圓心，QS為半徑作⊙Q，則線段ST即為⊙Q與⊙M的公共弦.

設(shè)點(diǎn)Q(－1，t)，則QS2＝QM2－4＝t2＋5，所以⊙Q的方程為(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5，

從而直線QS的方程為3x－ty－2＝0(*)，

因?yàn)?/span>一定是方程(*)的解，所以直線QS恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)坐標(biāo)為(，0).