Question

3．（1）求經過點P（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$）和Q（-2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$）的雙曲線的標準方程；
（2）已知雙曲線與橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1有共同的焦點，且與橢圓相交，其中一個交點A的縱坐標為4，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意設雙曲線的標準方程為nx²+my²=1（mn＜0），代入已知點的坐標可得關于m，n的方程組，求解可得m，n的值，則雙曲線方程可求；
（2）由橢圓方程求出焦點坐標，再由A的縱坐標求出A的坐標，設雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），列關于a，b的方程組，求出a，b得答案．

解答 解：（1）設雙曲線的標準方程為nx²+my²=1（mn＜0），
又雙曲線經過點P（2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{3}$）和Q（-2$\sqrt{3}$，$\sqrt{6}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{8n+3m=1}\\{12n+6m=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{3}}\\{n=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$．
∴所求的雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{36}$=1的焦點為（0，-3）、（0，3），
把y=4代入橢圓方程可得x=$±\sqrt{15}$．
∴A點的坐標為（$±\sqrt{15}$，4），
設雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=9}\\{\frac{16}{{a}^{2}}-\frac{15}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=5}\end{array}\right.$．
∴所求的雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}=1$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了雙曲線標準方程的求法，是中檔題．