Question

4．函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2在區間[0，$\frac{π}{2}$]上有四個不同零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據f（x）的部分圖象求出A、ω以及φ的值即可；
（Ⅱ）求出f（x-$\frac{π}{12}$）=sin2x，化簡函數F（x），
根據題意設t=sin2x，則由x∈[0，$\frac{π}{2}$]時t∈[0，1]，
把F（x）=0化為3t²+mt+2=0在[0，1]上有兩個不等的實數根，
由此求出實數m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）根據f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，
A=1，$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2；
由“五點法畫圖”知，
2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，解得φ=$\frac{π}{6}$；
∴函數f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）∵f（x-$\frac{π}{12}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=sin2x，
∴函數F（x）=3[f（x-$\frac{π}{12}$）]²+mf（x-$\frac{π}{12}$）+2
=3sin²（2x）+msin2x+2；
在區間[0，$\frac{π}{2}$]上有四個不同零點，
設t=sin2x，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，
∴t∈[0，1]，
令F（x）=0，則3t²+mt+2=0在[0，1]上有兩個不等的實數根，
令g（t）=3t²+mt+2
則由$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{g（0）≥0}\\{g（1）＞0}\\{0＜-\frac{m}{6}＜1}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜-2$\sqrt{6}$；
∴實數m的取值范圍是-5＜m＜-2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了由部分圖象求三角函數解析式的應用問題，也考查了函數零點與方程根的應用問題，是綜合性問題．