Question

20、已知函數f（x），對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x＜0時，f（x）＞0，且f（-1）=2
（1）求f（0）的值
（2）求證：函數f（x）為奇函數；
（3）判斷函數f（x）的的單調性，并求函數f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入恒等式即可求f（0）的值；
（2）觀察發現令y=-x即可得到f（x）+f（-x）=0，將問題等到證明．
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，利用f（x+y）=f（x）+f（y），及當x＜0時，f（x）＞0，這兩個條件即可證明出函數的單調性，再由單調性判斷出函數在何處取到最值以及利用恒等式結合f（-1）=2求出函數的最值．

解答：解：（1）得：f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0（4分）
（2）證明：∵函數f（x）的定義域為R，令y=-x得f（x-x）=f（x）+f（-x）∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴函數f（x）是奇函數．（10分）
（3）設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，∵當x＜0時，f（x）＞0，∴f（x₁-x₂）＞0∴f（x₁）+f（-x₂）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）為R上的單調減函數，∴函數f（x）在[-2，1]上的最大值f_max（x）=f（-2）=f（-1）+f（-1）=2+2=4，f_min（x）=f（1）=-f（-1）=-2．（16分）

點評：本題考查抽象函數及其應用，解題的關鍵是根據題設中的條件靈活賦值構造出奇函數成立的條件以及單調性證明中需要的條件．本題綜合性較強，賦值靈活，能力性要求較高，難題，本題易因為對賦值沒有經驗導致本題無法下手．