Question

3、已知函數f（x），對任意實數x、y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），試判別f（x）的奇偶性

奇函數

．

Answer 1

分析：判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關系，令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0即可求出f（0）．

解答：解：顯然f（x）的定義域是R，關于原點對稱．
又∵函數對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
故答案為：奇函數．

點評：本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，屬于基礎題．