Question

已知函數f（x），對任意的實數x滿足f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-1，3）時，f(x)=

2-|x|，(-1≤x≤1) k -x2+4x-3 ，(1＜x＜3)

，若直線y=

1

4

x與函數f（x）的圖象有3個公共點，則實數k的取值范圍為

-

35

4

＜k＜-

3

4

或

3

4

＜k＜

35

4

．

Answer 1

分析：確定函數的周期為4，分類討論，作出函數的圖象，k＞0時，問題轉化為

1

4

x=k

-x2+4x-3

在（1，3）上有兩個不等的實數根，

1

4

x=k

-(x-4)2+4(x-4)-3

在（5，7）上沒有實數根，即可求得結論．

解答：解：∵對任意的實數x滿足f（x-2）=f（x+2），∴f（x+4）=f（x），∴函數的周期為4
∵當x∈[-1，3）時，f(x)=

2-|x|，(-1≤x≤1) k -x2+4x-3 ，(1＜x＜3)

，
∴k＞0時，函數f（x）的圖象如圖所示

則

1

4

x=k

-x2+4x-3

在（1，3）上有兩個不等的實數根，

1

4

x=k

-(x-4)2+4(x-4)-3

在（5，7）上沒有實數根
即（

1

16k2

+1）x²-4x+3=0在（1，3）上有兩個不等的實數根，（

1

16k2

+1）x²-12x+35=0在（5，7）上沒有實數根

∴16-12（

1

16k2

+1）＞0且144-140（

1

16k2

+1）＜0
∵k＞0，∴

3

4

＜k＜

35

4

同理k＜0時，-

35

4

＜k＜-

3

4

故答案為：-

35

4

＜k＜-

3

4

或

3

4

＜k＜

35

4

點評：本題考查函數圖象的交點，考查數形結合的數學思想，考查學生的計算能力，屬于中檔題．