Question

已知函數f（x）滿足對一切x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2，且f（1）=0，當x＞1時有f（x）＜0．
（1）求f（-1）的值；
（2）判斷并證明函數f（x）在R上的單調性；
（3）解不等式：[f（x²-2x）]²+2f（x²-2x-1）-12＜0．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，先令x₁=x₂=0，代入恒等式求得f（0），再令x₁=1，x₂=-1，代入即可得f（-1）
（2）先證明x＞0時，f（x）＜2，只需證明0＜x＜1時，f（x）＜2，再利用函數單調性定義證明函數f（x）的單調性
（3）先利用恒等式將不等式等價轉化，再利用換元法解不等式，最后利用函數的單調性解不等式即可

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，則f（0）=f（0）+f（0）-2，∴f（0）=2
令x₁=1，x₂=-1，則f（0）=f（1）+f（-1）-2，∵f（1）=0，∴f（-1）=2+2=4
∴f（-1）=4
（2）設0＜x＜1，則x+1＞1，∴f（x+1）=f（x）+f（1）-2=f（x）-2＜0
∴0＜x＜1時，f（x）＜2，又∵當x＞1時有f（x）＜0，f（1）=0
∴x＞0時，f（x）＜2
函數f（x）在R上為單調遞減函數，證明如下：
證明：設?x₁＜x₂∈R，且x₂-x₁=t＞0
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+t）=f（x₁）-f（x₁）-f（t）+2=2-f（t）
∵t＞0，∴f（t）＜2，∴2-f（t）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在R上為單調遞減函數
（3）不等式[f（x²-2x）]²+2f（x²-2x-1）-12＜0
?[f（x²-2x）]²+2f（x²-2x）+2f（-1）-4-12＜0
?[f（x²-2x）]²+2f（x²-2x）-8＜0
設t=f（x²-2x），則t²+2t-8＜0，即-4＜t＜2
∴原不等式?-4＜f（x²-2x）＜2
?f（3）＜f（x²-2x）＜f（0）（注：f（3）=f（2）+f（1）-2=3f（1）-4=-4）
?3＞x²-2x＞0
?-1＜x＜0或2＜x＜3
∴不等式的解集為（-1，0）∪（2，3）

點評：本題綜合考察了抽象函數表達式的意義和應用，函數單調性的定義及其證明方法，利用函數的單調性解不等式