Question

設函數f（x）=tan（2x-

π

3

）．
（1）求f（x）的定義域、周期和單調區間；
（2）求不等式-1≤f（x）≤

3

的解集；
（3）求f（x），x∈[0，π]的值域．

Answer 1

考點：正切函數的值域,正切函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：（1）由函數f（x）=tan（2x-

π

3

）可得2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的定義域．由kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區間．
（2）由不等式-1≤f（x）≤

3

，可得 kπ-

π

4

≤2x-

π

3

≤kπ+

π

3

，求得x的范圍，可得不等式的解集．
（3）由x∈[0，π]，可得2x-

π

3

的范圍，從而求得tan（2x-

π

3

）的范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=tan（2x-

π

3

），∴2x-

π

3

≠kπ+

π

2

，k∈z．
求得 x≠

kπ

2

+

5π

12

，故函數的定義域為{x|x≠

kπ

2

+

5π

12

，k∈z}．
由kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得

kπ

2

-

π

12

＜x＜

kπ

2

+

5π

12

，
故函數的增區間為 （

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

5π

12

），k∈z．
（2）由不等式-1≤f（x）≤

3

，可得 kπ-

π

4

≤2x-

π

3

≤kπ+

π

3

，
求得

kπ

2

+

π

24

≤x≤

kπ

2

+

π

3

，故不等式的解集為[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

π

3

]，k∈z．
（3）∵x∈[0，π]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

5π

3

]，故tan（2x-

π

3

）∈R．

點評：本題主要考查正切函數的定義域和值域，正切函數的單調性，屬于中檔題．