Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，為的中點，為棱上的點，平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) .

【解析】分析：（1）由平面，可得，由，可得，利用線面垂直的判定定理可得平面，從而根據面面垂直的判定定理可得結果；（2）以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零，列方程組分別求出平面與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.

詳解：（1）∵AB∥CD，PC⊥CD，∴AB⊥PC，

∵AB⊥AC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，

∴AB⊥PA，又∵PA⊥AD，AB∩AD＝A，

∴PA⊥平面ABCD，PA平面PAB，

∴平面PAB⊥平面ABCD．

（2）連接BD交AE于點O，連接OF，

∵E為BC的中點，BC∥AD，

∴＝＝，

∵PD∥平面AEF，PD平面PBD，

平面AEF∩平面PBD＝OF，

∴PD∥OF，

∴＝＝，

以AB，AC，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A－xyz，

則A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，3，0)，D(－3，3，0)，

P(0，0，3)，E(，，0)，F(2，0，1)，

設平面ADF的法向量m＝(x1，y1，z1)，

∵＝(2，0，1)，＝(－3，3，0)，

由·m＝0，·m＝0得取m＝(1，1，－2)．

設平面DEF的法向量n＝(x2，y2，z2)，

∵＝(，－，0)，＝(，－，1)，

由·n＝0，·n＝0得取n＝(1，3，4)．

cosm，n＝＝－，

∵二面角A-DF-E為鈍二面角，∴二面角A-DF-E的余弦值為－．