Question

1．已知函數f（x）=e^x-kx，x∈R，k∈R．
（1）若k=e，試確定函數f（x）的單調區間；
（2）若k＞0，且對于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）設函數g（x）=f（x）+f（-x），求證：g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）當k=e時，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e；直接利用導數判斷函數的單調性即可；
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函數．f（|x|）＞0對任意x∈R恒成立等價于f（x）＞0對任意x≥0恒成立；
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2；

解答 解：（1）當k=e時，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
令f'（x）=0，得x=1；
當x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．
因此，f（x）的單調遞減區間是（-∞，1），單調遞增區間（1，+∞）．
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函數．于是，f（|x|）＞0對任意x∈R恒成立等價于f（x）＞0對任意x≥0恒成立；由f'（x）=e^x-k=0，得x=lnk．
①當k∈（0，1]時，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0），此時，f（x）在區間[0，+∞）上單調遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當k∈（1，+∞）時，lnk＞0．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值k-lnk	↗

由上表可知：在區間[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-lnk．
依題意，得k-klnk＞0．
又k＞1∴1＜k＜e
綜上：實數k的取值范圍是（0，e）．
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，
∴當x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂時，
g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
即  g（x₁）g（x₂）＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
∴g（1）g（2n）＞e²ⁿ⁺¹+2，g（2）g（2n-1）＞e²ⁿ⁺¹+2，…，g（2n）g（1）＞e²ⁿ⁺¹+2；
∴[g（1）g（2）…g（2n）]²=[g（1）g（2n）][g（2）g（2n-1）]…[g（2n）g（1）]＞（e²ⁿ⁺¹+2）²ⁿ；
故g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ，n∈N^*．

點評 本題主要考查了利用導數判斷函數的單調性，函數基本性質以及數值運算，屬中等題；