Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{11}$=1的左右焦點分別為F₁，F₂，P為C的右支上一點，且|PF₂|=|F₁F₂|，則△PF₁F₂的面積等于（　　）

• A． $22\sqrt{6}$
• B． $22\sqrt{23}$
• C． $11\sqrt{23}$
• D． $11\sqrt{6}$

Answer 1

分析 先根據雙曲線方程求出a，b，c和焦點坐標，再利用雙曲線的第一定義求得|PF₁|，作PF₁邊上的高AF₂，有等腰三角形的性質，可知AF₁的長度，進而利用勾股定理求得AF₂，則△PF₁F₂的面積可得．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{11}$=1中a=5，b=$\sqrt{11}$，c=$\sqrt{25+11}$=6，
∴F₁（-6，0），F₂（6，0）
∵|PF₂|=|F₁F₂|=12，
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=10+12=22，
作PF₁邊上的高AF₂，則AF₂=$\sqrt{1{2}^{2}-1{1}^{2}}$=$\sqrt{23}$，
AF₁=$\frac{1}{2}$PF₁=11，
∴△PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$|•|AF₂|•|AF₁|=$\frac{1}{2}$×22×$\sqrt{23}$=11$\sqrt{23}$．
故選C．

點評 此題重點考查雙曲線的第一定義，雙曲線中與焦點有關三角形問題；由題意準確畫出圖象，利用數形結合，注意到等腰三角形的特殊性．