Question

9．已知直線y=kx是曲線y=lnx的一條切線，則k的值為$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 欲求k的值，只須求出切線的斜率的值即可，故先利用導數求出在切處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．

解答 解：∵y=lnx，∴y'=$\frac{1}{x}$，
設切點為（m，lnm），得切線的斜率為$\frac{1}{m}$，
所以曲線在點（m，lnm）處的切線方程為：y-lnm=$\frac{1}{m}$×（x-m）．
它過原點，∴-lnm=-1，∴m=e，
∴k=$\frac{1}{e}$．
故答案為$\frac{1}{e}$．

點評 本小題主要考查直線的方程、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．