Question

18．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F₂，M（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）是雙曲線C上的點，N（-x₀，-y₀），連接MF₂并延長MF₂交雙曲線C于點P，連接NF₂，PN，若△NF₂P是以∠NF₂P為頂角的等腰直角三角形，則雙曲線C的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

Answer 1

分析 可設雙曲線的左焦點為F₁，并連接MF₁，MF₂，根據雙曲線的對稱性及條件便知四邊形F₁NF₂M為矩形，可設MF₂=x，并連接PF₁，這樣根據雙曲線的定義及平行四邊形對邊相等即可得出MF₁=2a+x，MP=2a+2x，PF₁=4a+x，這樣根據直角三角形的邊的關系即可得到（2a+x）²+x²=4c² ①；：（2a+x）²+（2a+2x）²=（4a+x）² ②；這樣可以由②解出x，帶入①中便可得到a，b，c的關系，根據c²=a²+b²即可得出$\frac{b}{a}$的值，從而便得出漸近線方程．

解答 解：如圖，設F₁為雙曲線左焦點，連接MF₁，NF₁，則：
由對稱性可知四邊形F₁NF₂M
為平行四邊形；
又△NF₂P是以∠NF₂P為頂角的等腰直角三角形，
可得∠MF₂N=90°；
∴F₁NF₂M為矩形；
設|MF₂|=x，由雙曲線的定義可得，
|MF₁|=2a+x；
∴|PF₂|=|NF₂|=|MF₁|=2a+x；
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a+x；
在Rt△MF₁F₂中有：
（2a+x）²+x²=4c² ①；
在Rt△MF₁P中有：（2a+x）²+（2a+2x）²=（4a+x）² ②；
由②解得，x=a，代回①得：9a²+a²=4c²；
∴c²=$\frac{5}{2}$a²；
∴b²=c²-a²=$\frac{3}{2}$a²；
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
∴漸近線方程為：y=±$\frac{b}{a}$x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故答案為：y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．

點評 本題考查雙曲線的對稱性，雙曲線的標準方程，雙曲線的焦點，以及雙曲線的定義，直角三角形的勾股定理，雙曲線的漸近線方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．