Question

10．P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上一點，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則△F₁PF₂的面積為（　　）

• A． $16\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{3}$
• C． $9\sqrt{3}$
• D． $9（2+\sqrt{3}）$

Answer 1

分析 先根據橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．

解答 解：∵a=4，b=3
∴c=$\sqrt{7}$．
設|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則由橢圓的定義可得：t₁+t₂=8①
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=28②，
由①²-②得t₁t₂=12，
所以S△F1PF2=$\frac{1}{2}$t1t2•sin60°=$\frac{1}{2}$×12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 解決此類問題的關鍵是熟練掌握橢圓的標準方程、橢圓的定義，熟練利用解三角形的一個知識求解問題．