Question

19．已知函數$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
（1）求函數f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值與最小值；
（2）已知$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），求cos4x₀的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的取值最大和最小值；
（2）利用$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），代入化簡，找出與cos4x₀的值關系，可求解．

解答 解：函數$f（x）=3si{n^2}（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinxcosx-\frac{1}{2}{cos^2}x$
化簡可得：3$（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos（2x+\frac{π}{3}））$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x）$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$cos2x×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+$\frac{5}{4}$
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$上，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
函數f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值為$\frac{13}{4}$，最小值為$\frac{1}{4}$．
（2）∵$f（2{x_0}）=\frac{49}{20}$，即2sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）+$\frac{5}{4}$=$\frac{49}{20}$
?sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$
∵x₀∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{24}$），
4x₀-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$，π]，
∴cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）=$-\frac{4}{5}$．
cos4x₀=cos[4x₀-$\frac{π}{6}$）$+\frac{π}{6}$]=cos（4x₀-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（4x₀-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$（-\frac{4}{5}）$-$\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．