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4.已知$f(x)=|{\begin{array}{l}{ax}&x\\{-2}&{2x}\end{array}}|(a$為常數),$g(x)=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$,且當x1,x2∈[1,4]時,總有f(x1)≤g(x2),則實數a的取值范圍是$(-∞,-\frac{1}{6}]$.

分析 依題意可知,當x1,x2∈[1,4]時,f(x1max≤g(x2min,利用對勾函數的單調性質可求g(x2min=g(1)=3;再對f(x)=2ax2+2x中的二次項系數a分a=0、a>0、a<0三類討論,利用函數的單調性質可求得f(x)在區間[1,4]上的最大值,解f(x)max≤3即可求得實數a的取值范圍.

解答 解:依題意知,當x1,x2∈[1,4]時,f(x1max≤g(x2min
由“對勾'函數單調性知,$g(x)=\frac{{2{x^2}+1}}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$=2(x+$\frac{\frac{1}{2}}{x}$)在區間[1,4]上單調遞增,
∴g(x2min=g(1)=3;
∵$f(x)=|\begin{array}{l}{ax}&{x}\\{-2}&{2x}\end{array}|$=2ax2+2x,
當a=0時,f(x)=2x在區間[1,4]上單調遞增,∴f(x)max=f(4)=8≤3不成立,故a≠0;
∴f(x)=2ax2+2x為二次函數,其對稱軸方程為:x=-$\frac{1}{2a}$,
當a>0時,f(x)在區間[1,4]上單調遞增,f(x)max=f(4)=8≤3不成立,故a>0不成立;
當a<0時,
1°若-$\frac{1}{2a}$≤1,即a≤-$\frac{1}{2}$時,f(x)在區間[1,4]上單調遞減,
f(x)max=f(1)=2a+2≤3恒成立,即a≤-$\frac{1}{2}$時滿足題意;
2°若1<-$\frac{1}{2a}$<4,即-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{8}$時,f(x)max=f(-$\frac{1}{2a}$)=-$\frac{1}{2a}$≤3,解得:-$\frac{1}{2}$<a≤-$\frac{1}{6}$;
3°若-$\frac{1}{2a}$≥4,即-$\frac{1}{8}$≤a<0時,f(x)在區間[1,4]上單調遞增,
f(x)max=f(4)=32a+8≤3,解得a≤-$\frac{5}{32}$∉(-$\frac{1}{8}$,0),故不成立,
綜合1°2°3°知,實數a的取值范圍是:(-∞,-$\frac{1}{6}$].
故答案為:$(-∞,-\frac{1}{6}]$.

點評 本題考查函數恒成立問題,由題意分析出當x1,x2∈[1,4]時,f(x1max≤g(x2min是關鍵,考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用,考查運算能力,屬于難題.

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