Question

14．已知函數f（x）=a^x+bx+c（a＞0，a≠1，b，c∈R）
（1）若b=0，且滿足f（2）=1，f（4）=73，求函數f（x）的解析式；
（2）當a=2時，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求非負實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據條件建立方程組進行求解即可．
（2）根據不等式的關系，先判斷函數f（x）的單調性，轉化為最值恒成立即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+c=1}\\{{a}^{4}+c=73}\end{array}\right.$，----------------------------（1分）
∴a⁴-a²-72=0，----------------------------（2分）
則（a²-9）（a²+8）=0，----------------------------（3分）
則a²=9，得a=3，---------------------------（4分）
∴c=-8，則f（x）=3^x-8．----------------------------（5分）
（Ⅱ）任取-1≤x₁＜x₂≤1，
則f（x₁）-f（x₂）=2${\;}^{{x}_{1}}$+bx₁+c-（2${\;}^{{x}_{2}}$+bx₂+c）=（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+b（x₁-x₂）----------------------------（6分）
又∵2${\;}^{{x}_{1}}$＜2${\;}^{{x}_{2}}$，b≥0，x₁-x₂＜0------------------------------------------（7分）
∴（2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$）+b（x₁-x₂）＜0---------------------------，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函數f（x）在[-1，1]上單調遞增，-------------------（8分）
則函數的最大值f（1）=2+b+c，最小值f（-1）=$\frac{1}{2}$-b+c，---------------（9分）
若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，則需滿足|f（1）-f（-1）|≤4------------------------（10分）
∴|2b+$\frac{3}{2}$|≤4，得-4≤2b+$\frac{3}{2}$≤4，得-$\frac{11}{4}$≤b≤$\frac{5}{4}$，-----------------------（11分）
又b≥0，則0≤b≤$\frac{5}{4}$．----------------------------（12分）

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及不等式恒成立問題，利用待定系數法是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．