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14.已知函數f(x)=ax+bx+c(a>0,a≠1,b,c∈R)
(1)若b=0,且滿足f(2)=1,f(4)=73,求函數f(x)的解析式;
(2)當a=2時,若對任意x1,x2∈[-1,1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤4,求非負實數b的取值范圍.

分析 (1)根據條件建立方程組進行求解即可.
(2)根據不等式的關系,先判斷函數f(x)的單調性,轉化為最值恒成立即可得到結論.

解答 解:(Ⅰ)依題意得:$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+c=1}\\{{a}^{4}+c=73}\end{array}\right.$,----------------------------(1分)
∴a4-a2-72=0,----------------------------(2分)
則(a2-9)(a2+8)=0,----------------------------(3分)
則a2=9,得a=3,---------------------------(4分)
∴c=-8,則f(x)=3x-8.----------------------------(5分)
(Ⅱ)任取-1≤x1<x2≤1,
則f(x1)-f(x2)=2${\;}^{{x}_{1}}$+bx1+c-(2${\;}^{{x}_{2}}$+bx2+c)=(2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$)+b(x1-x2)----------------------------(6分)
又∵2${\;}^{{x}_{1}}$<2${\;}^{{x}_{2}}$,b≥0,x1-x2<0------------------------------------------(7分)
∴(2${\;}^{{x}_{1}}$-2${\;}^{{x}_{2}}$)+b(x1-x2)<0---------------------------,
即f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x1)<f(x2),
函數f(x)在[-1,1]上單調遞增,-------------------(8分)
則函數的最大值f(1)=2+b+c,最小值f(-1)=$\frac{1}{2}$-b+c,---------------(9分)
若對任意x1,x2∈[-1,1],恒有|f(x1)-f(x2)|≤4,則需滿足|f(1)-f(-1)|≤4------------------------(10分)
∴|2b+$\frac{3}{2}$|≤4,得-4≤2b+$\frac{3}{2}$≤4,得-$\frac{11}{4}$≤b≤$\frac{5}{4}$,-----------------------(11分)
又b≥0,則0≤b≤$\frac{5}{4}$.----------------------------(12分)

點評 本題主要考查函數解析式的求解以及不等式恒成立問題,利用待定系數法是解決本題的關鍵.考查學生的計算能力.

練習冊系列答案
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(1)求計劃B到2016年底的收益的期望值;
(2)根據2016年年底的收益,從收益率的角度出發,試問你將選擇何種投資?
(注:收益率=$\frac{收益}{投資總額}$,參考數據1.00524≈1.13,$\frac{7}{80}$≈0.0875,$\frac{11}{176}$≈0.0625)

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19.若等差數列{an},{bn}的前n項和分別為An,Bn,且$\frac{{A}_{n}}{{B}_{n}}$=$\frac{7n+1}{4n+27}$,則$\frac{{a}_{6}}{{b}_{6}}$等于(  )
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6.點P(cos2015°,sin2015°)落在第(  )象限.
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3.如圖所示莖葉統計圖表示某城市一臺自動售貨機的銷售額情況,那么這組數據的中位數是(  )
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4.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a($\sqrt{3}$tanB-1)=$\frac{bcosA}{cosB}+\frac{ccosA}{cosC}$.
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