Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線右支一的任意一點，若

|PF1|2

|PF2|

的最小值為8a，則雙曲線離心率的取值范圍是（　　）

A．（0，+∞）

B．（1，2]

C．(1， 3 ]

D．（1，3]

Answer 1

∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線右支一的任意一點
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴

|PF1|2

|PF2|

=

(2a+|PF2|)2

|PF2|

=

4a2

|PF2|

+4a+|PF2|≥8a，
當且僅當

4a2

|PF2|

=|PF2|，即|PF₂|=2a時取得等號
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a
∵|PF₁|-|PF₂|=2a＜2c，|PF₁|+|PF₂|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故選D．