【題目】如圖,MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點,將正方形沿對角線AC折起,使點D不在平面ABC內,則在翻折過程中,有以下結論:
①異面直線AC與BD所成的角為定值.
②存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直.
③存在某個位置,使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.
④三棱錐M-ACN體積的最大值為.
以上所有正確結論的序號是__________.
【答案】①③④
【解析】
設中點
,連接
,
,得到
平面
,從而可證①正確;假設
,從而得到
平面
,與已知矛盾,從而證明②錯誤,根據
,得到
與平面
所成的角等于
與平面
所成的角,即
,根據
的范圍,從而證明③正確;
,從而得到體積最大的情況,求出最大值,可得④正確.
設中點
,連接
,
,
正方形,
,
,
所以,
,
平面
,
,
所以平面
,
而平面
,所以
,
即異面直線與
所成的角為定值
.
故①正確.
若,而
,
平面
,
所以平面
,
而平面
,所以
,
而中,
,
所以不可能為直角,故假設錯誤,
所以②錯誤.
因為分別是
的中點,所以
,
所以與平面
所成的角等于
與平面
所成的角,
在平面
的射影在
上,
所以是
與平面
所成的角,
而,所以一定存在某個位置滿足
,
即存在某個位置,使得直線MN與平面所成的角為45°.
故③正確;
,底面
,
所以當平面平面
時,
到平面
的距離最大,
此時三棱錐的體積最大,
,
所以此時,
故④正確.
故答案為:①③④
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【題目】已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若=12,其中O為坐標原點,求|MN|.
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【題目】已知函數y= 4cos2x+4sinxcosx-2,(x∈R)
(1)求函數的最小正周期;
(2)求函數的最大值及其相對應的x值;
(3)寫出函數的單調增區間;
(4)寫出函數的對稱軸
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【題目】如圖,曲線是以原點O為中心、
為焦點的橢圓的一部分,曲線
是以O為頂點、
為焦點的拋物線的一部分,A是曲線
和
的交點且
為鈍角,若
,
.
(1)求曲線和
的方程;
(2)過作一條與
軸不垂直的直線,分別與曲線
依次交于B、C、D、E四點,若G為CD中點、H為BE中點,問
是否為定值?若是求出定值;若不是說明理由.
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【題目】中國有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體,但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1).半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現了數學的對稱美.圖2是一個棱數為48的半正多面體,它的所有頂點都在同一個正方體的表面上,且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面,其棱長為_________.
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【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為等腰直角三角形,AB=AC=1,BB1=2,∠ABB1=60°.
(I) 證明:AB⊥平面AB1C;
(II) 若B1C=2,求AC1與平面BCB1所成角的正弦值.
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【題目】已知具有線性相關關系的兩個變量之間的幾組數據如下表所示:
2 | 4 | 6 | 8 | 10 | |
3 | 6 | 7 | 10 | 12 |
(1)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出關于
的線性回歸方程
,并估計當
時,
的值;
(2)將表格中的數據看作五個點的坐標,則從這五個點中隨機抽取2個點,求恰有1個點落在直線右下方的概率.
參考公式: ,
.
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