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【題目】如圖,MN分別是邊長為1的正方形ABCD的邊BCCD的中點,將正方形沿對角線AC折起,使點D不在平面ABC內,則在翻折過程中,有以下結論:

①異面直線ACBD所成的角為定值.

②存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直.

③存在某個位置,使得直線MN與平面ABC所成的角為45°.

④三棱錐M-ACN體積的最大值為.

以上所有正確結論的序號是__________.

【答案】①③④

【解析】

中點,連接,得到平面,從而可證①正確;假設,從而得到平面,與已知矛盾,從而證明②錯誤,根據,得到與平面所成的角等于與平面所成的角,即,根據的范圍,從而證明③正確;,從而得到體積最大的情況,求出最大值,可得④正確.

中點,連接

正方形

所以

平面

所以平面

平面,所以

即異面直線所成的角為定值.

故①正確.

,而平面

所以平面

平面,所以

中,

所以不可能為直角,故假設錯誤,

所以②錯誤.

因為分別是的中點,所以

所以與平面所成的角等于與平面所成的角,

在平面的射影在上,

所以與平面所成的角,

,所以一定存在某個位置滿足

即存在某個位置,使得直線MN與平面所成的角為45°.

故③正確;

,底面

所以當平面平面時,到平面的距離最大,

此時三棱錐的體積最大,

所以此時

故④正確.

故答案為:①③④

練習冊系列答案
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2

4

6

8

10

3

6

7

10

12

1)請根據上表提供的數據,用最小二乘法求出關于的線性回歸方程并估計當時, 的值;

2)將表格中的數據看作五個點的坐標,則從這五個點中隨機抽取2個點,求恰有1個點落在直線右下方的概率.

參考公式: .

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