Question

已知偶函數y=f（x）（x∈R）在區間[-1，0]上單調遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：
（1）f（5）=0；
（2）f（x）在[1，2]上是減函數；
（3）函數y=f（x）沒有最小值；
（4）函數f（x）在x=0處取得最大值；
（5）f（x）的圖象關于直線x=1對稱．
其中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：分別利用函數的奇偶性，單調性和周期性進行推理和判斷，由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），得到函數的周期為4．f（x+2）=-f（x），

解答： 解：
（1）由f（1-x）+f（1+x）=0
得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），
設t=x-1．x=t+1，∴f（t+2）=-f（t），f（t+4）=f（t）
所以f（4+x）=f（x），所以函數的周期是4．
當x=0時，f（1）+f（1）=0，
所以f（1）=0，
因為f（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正確．


（2）因為y=f（x）（x∈R）在區間[-1，0]上單調遞增，周期為4，f（x+2）=-f（x），所以函數在區間[1，2]上單調遞減，所以②正確．
（3）函數有最小值，也有最大值，且是相反數，故③錯，
（4）∵偶函數y=f（x）（x∈R）在區間[-1，0]上單調遞增，f（x+2）=-f（x），
∴函數f（x）在x=0處取得最大值；
（5）因為y=f（x）是偶函數，所以f（2+x）=-f（x），f（1）=0所以函數關于（1，0）對稱．故⑤錯誤
因為偶函數y=f（x）（x∈R）在區間[-1，0]上單調遞增，則在[0，1]上單調遞減，且周期為4，所以y=f（x）在x=0處取得最大值，在x=-1時取得f（-1）=0．所以④正確，⑤錯誤．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查函數的奇偶性，單調性和周期性的綜合應用，要求熟練掌握相應的性質．