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已知函數f(x)=x-
1
x
,g(x)=lnx.
(1)求函數f(x)在點(1,0)處的切線y=h(x);
(2)在(1)的條件下,證明:對任意的x∈(0,+∞),h(x)-g(x)≥
1
2
f(x)恒成立;
(3)若對于任意的x1>x2>0,f(x1)-f(x2)>m[g(x1)-g(x2)]都成立,求實數m的取值范圍.
考點:利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性
專題:計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用
分析:(1)求導f′(x)=1+
1
x2
從而求斜率為f′(1)=1+1=2;從而得到切線方程;
(2)令F(x)=h(x)-g(x)-
1
2
f(x)=2(x-1)-lnx-
1
2
(x-
1
x
),求導F′(x)=
(3x+1)(x-1)
2x2
,從而化恒成立問題為最值問題.
(3)對于任意的x1>x2>0,f(x1)-f(x2)>m[g(x1)-g(x2)]都成立可化為
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>m
g(x1)-g(x2)
x1-x2
;即f′(x)>mg′(x),從而解得.
解答: 解:(1)f′(x)=1+
1
x2
,則f′(1)=1+1=2;
故函數f(x)在點(1,0)處的切線y=h(x)=2(x-1);
(2)證明:令F(x)=h(x)-g(x)-
1
2
f(x)
=2(x-1)-lnx-
1
2
(x-
1
x
),
F′(x)=
(3x+1)(x-1)
2x2

故F(x)在(0,1)上是減函數,在(1,+∞)上是增函數,
且F(1)=2(1-1)-ln1-
1
2
(1-1)=0,
故F(x)≥0,
故對任意的x∈(0,+∞),h(x)-g(x)≥
1
2
f(x)恒成立;
(3)對于任意的x1>x2>0,f(x1)-f(x2)>m[g(x1)-g(x2)]都成立可化為
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>m
g(x1)-g(x2)
x1-x2

即f′(x)>mg′(x),
即1+
1
x2
>m
1
x

∴m<x+
1
x

∵(x+
1
x
min=2,
(當且僅當x=1時,等號成立)
故m<2.
點評:本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題,同時考查了轉化的思想應用,屬于難題.
練習冊系列答案
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若直線l與直線y=1,x=7分別交于點P、Q,且線段PQ的中點坐標為(1,-1),則直線l的斜率為(  )
A、
1
3
B、-
1
3
C、-
3
2
D、
2
3

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數f(x)=sinx在區間[a,b]上是增函數,且f(a)=-1,f(b)=1,則cos
a+b
2
的值為(  )
A、-1
B、0
C、
2
2
D、1

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一個幾何體的三視圖如圖所示,則幾何體的體積為
 

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設復數w=
1
2
+
3
2
i,則z=1+w+w2+…+w98的值為
 

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“所有9的倍數都是3的倍數,某奇數是9的倍數,故該奇數是3的倍數”,上述推理(  )
A、推理形式不正確
B、大前提錯誤
C、錯誤,因為大小前提不一致
D、完全正確

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由下列事實:(a-b)(a+b)=a2-b2,(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3,(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4
可得到合理的猜想是
 

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在正項等比數列{an}中,log2a3+log2a6+log2a9=3,則a1•a11的值是
 

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已知A,B,C,D為四個不同點,且
AB
+
BC
+
CD
+
DA
=
0
,則(  )
A、A,B,C,D四點必共面
B、A,B,C,D四點構成一個空間四邊形
C、A,B,C,D四點必共線
D、A,B,C,D四點的位置無法確定

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