Question

過拋物線y²=2mx（m＞0）的焦點F傾斜角為

π

4

的直線交拋物線于A、B兩點，弦長為|AB|．命題p：|AB|≥4，命題q：方程

x2

m-2

+

y2

m+1

=1（m∈R）表示雙曲線，如p∧q為假，p∨q為真，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：通過拋物線的焦點坐標，直線的斜率，推出直線方程，然后聯立方程組求出AB，通過p、q是真命題求出m的范圍，然后通過的話明天的真假，推出結果．

解答： 解∵拋物線y²=2mx（m＞0）∴焦點F(

m

2

，0)，
∵直線AB的傾斜角為

π

4

∴方程為y=x-

m

2

，
∴

y=x- m 2 y2=2mx

⇒x2-3mx+

x2

4

=0，
∴x1+x2=3m，x1•x2=

m2

4

，
|AB|=x₁+x₂+m=4m
若P為真，則4m≥4
∵m＞0
∴m≥1，
若q為真，則（m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜2
∵p∧q為假，p∨q為真∴p，q一真一假
①P真q假時

m≥1 m≤-1或m≥2

⇒m≥2
②p假q真時，

m＜1 -1＜m＜2

⇒-1＜m＜1
綜上所述m∈（-1，1）∪[2，+∞）．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，弦長公式的應用，復合命題的真假的判斷與應用，考查分析問題解決問題的能力．