Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左頂點A作直線m，與圓O相交于兩點R，S，若△ORS是鈍角三角形，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得圓O的方程，運用直線和相切的條件：d=r，求得b，再由離心率公式和a，b，c的關系，可得a，進而得到橢圓方程；
（2）先設出點R，S的坐標，利用△ORS是鈍角三角形，求得$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}$=x₁x₂+y₁y₂＜0，從而求出斜率k的取值范圍

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又圓O的方程為x²+y²=b²，
因為直線l：x-y+2=0與圓O相切，
b=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{1}+（-1）^{2}}}=\sqrt{2}$，由a²=3c²=3（a²-b²），即a²=3．
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）由（1）得知圓的方程為x²+y²=2．A（-$\sqrt{3}$，0），直線m 的方程為：y=k（x+$\sqrt{3}$）．
設R（x1，y1），S（x2，y2），由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{y=k（x+\sqrt{3}）}\end{array}\right.$
得 $（1+{k}^{2}）{x}^{2}+2\sqrt{3}{k}^{2}x+3{k}^{2}-2=0$
${x}_{1}{+x}_{2}=\frac{-2\sqrt{3}{k}^{2}}{1+{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2\\;}-2}{1+{k}^{2}}$，
由△=12k⁴-4（1+k²）（3k²-2）＞0的-$\sqrt{2}$＜k＜$\sqrt{2}$…①
因為△ORS是鈍角三角形，∴$\overrightarrow{QR}•\overrightarrow{QS}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+\sqrt{3}）（{x}_{2}+\sqrt{3}）$=$\frac{4{k}^{2}-2}{1+{k}^{2}}＜0$．
$-\frac{\sqrt{2}}{2}＜k＜\frac{\sqrt{2}}{2}$…②
由A、R、S三點不共線，知k≠0．                              ③
由①、②、③，得直線m的斜率k的取值范圍是（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點評 本題是對圓與橢圓知識的綜合考查．當直線與圓相切時，可以利用圓心到直線的距離等于半徑求解，向量的夾角與數量積的關系，屬于難題．