Question

（本小題滿分14分）已知橢圓C：的焦距為4，其長軸長和短軸長之比為．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設F為橢圓C的右焦點，T為直線上縱坐標不為0的任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．

（ⅰ）若OT平分線段PQ（其中O為坐標原點），求的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，當最小時，求點T的坐標．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）當最小時，T點的坐標是（3，1）或（3，－1）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用條件“焦距為4，其長軸長和短軸長之比為”列方程求出的值從而確定橢圓的標準方程．

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F點的坐標是（2，0）． 設直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，得消去得到關于的一元二次方程，于是可利用韋達定理與兩直線的位置關系確定的值．（ⅱ）由（ⅰ）知T為直線上任意一點可得，點T點的坐標為．利用兩點間的距離公式將表示成的函數，最后利用函數或不等式的方法求出其取得最小值時的值，從而確定T點的縱坐標．．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）由已知可得解得a2＝6，b2＝2．

所以橢圓C的標準方程是． （4分）

（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）可得，F點的坐標是（2，0）．

設直線PQ的方程為x＝my+2，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯立，得

消去x，得（m2＋3）y2+4my－2＝0，其判別式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0．

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則y1＋y2＝，y1y2＝．于是x1＋x2＝m（y1＋y2）+4＝．

設M為PQ的中點，則M點的坐標為．

因為，所以直線FT的斜率為，其方程為．

當時，，所以點的坐標為，

此時直線OT的斜率為，其方程為．

將M點的坐標為代入，得．

解得． （8分）

（ⅱ）由（ⅰ）知T為直線上任意一點可得，點T點的坐標為．

于是，

．

所以

．

當且僅當m2＋1＝，即m＝±1時，等號成立，此時取得最小值．

故當最小時，T點的坐標是（3，1）或（3，－1）． （14分）

考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與橢圓的位置關系綜合問題．