Question

(1)寫出函數y＝x²－2x的單調區間及其圖像的對稱軸，觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點？

(2)寫出函數y＝|x|的單調區間及其圖像的對稱軸，觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點？

(3)定義在[－4，8]上的函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝2對稱，y＝f(x)的部分圖像如圖所示，請補全函數y＝f(x)的圖像，并寫出其單調區間，觀察：在函數圖像對稱軸兩側的單調性有什么特點？

(4)由以上你發現了什么結論？試加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)函數y＝x²－2x的單調遞減區間是(－∞，1)，單調遞增區間是(1，＋∞)；對稱軸是直線x＝1；區間(－∞，1)和區間(1，＋∞)關于直線x＝1對稱，單調性相反．

　　(2)函數y＝|x|的單調遞減區間是(－∞，0)，單調遞增區間是(0，＋∞)；對稱軸是y軸即直線x＝0；區間(－∞，0)和區間(0，＋∞)關于直線x＝0對稱，單調性相反．

　　(3)函數y＝f(x)，x∈[－4，8]的圖像如圖所示．

　　函數y＝f(x)的單調遞增區間是[－4，－1]，[2，5]；單調遞減區間是[5，8]，[－1，2]；區間[－4，－1]和區間[5，8]關于直線x＝2對稱，單調性相反，區間[－1，2]和區間[2，5]關于直線x＝2對稱，單調性相反．

　　(4)可以發現結論：如果函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，那么函數y＝f(x)在直線x＝m兩側對稱單調區間內具有相反的單調性．證明如下：

　　不妨設函數y＝f(x)在對稱軸直線x＝m的右側一個區間[a，b]上是增函數，區間[a，b]關于直線x＝m的對稱區間是[2m－b，2m－a]．

　　由于函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，則f(x)＝f(2m－x)．

　　設2m－b≤x₁＜x₂≤2m－a，則b≥2m－x₁＞2m－x₂≥a，

　　f(x₁)－f(x₂)＝f(2m－x₁)－f(2m－x₂)．

　　又∵函數y＝f(x)在[a，b]上是增函數，∴f(2m－x₁)－f(2m－x₂)＞0．

　　∴f(x₁)－f(x₂)＞0．

　　∴f(x₁)＞f(x₂)．

　　∴函數y＝f(x)在區間[2m－b，2m－a]上是減函數．

　　∴當函數y＝f(x)在對稱軸直線x＝m的右側一個區間[a，b]上是增函數時，在[a，b]關于直線x＝m的對稱區間[2m－b，2m－a]上則是減函數，即單調性相反．

　　因此有結論：如果函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱，那么函數y＝f(x)在對稱軸兩側的對稱單調區間內具有相反的單調性．

提示：

本題探討函數的單調性的性質．利用歸納、猜想、證明的方法得到結論，用定義證明結論．