Question

（2009•溫州二模）在等差數列{a_n}中，設S_n為它的前n項和，若S₅=35，且點A（3，a₃）與B（5，a₅）都在斜率為-2的直線l上，
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由題意，點點A（3，a₃）與B（5，a₅）都在斜率為-2的直線l上，由斜率的兩點式得到

a5-a3

5-3

=-2，即可解出公差d，再由S₅=35即可求出首項；
另解：可由等差數列的性質解出a₃=7，再解出首項；
（II）由等差數列的求和公式得到關于n的二次式，再利用二次函數的性質求出其最大值即可
另解：由于數列是一個遞減的數列，故可研究出正項的個數，從而求出S_n的最大值

解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）由已知可得

a5-a3

5-3

=-2，則公差d=-2，…（4分）
又由S₅=35得5a₁+10d=35，則a₁=11．…（7分）
另解：由S₅=35得a₃=7再解a₁=11．
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=-n2+12n=-(n-6)2+36，…（12分）
則當n=6時S_n的最大值為36．…（14分）
另解：由a_n=11-2（n-1）=-2n+13，令a_n≥0，a_n≤0得n=6，
故當n=6時S_n的最大值為36．…（14分）

點評：本題考查等差數列的前n項及其通項公式的求法，等差數列前必項和的求解常借助二次函數的性質求解，解答本題后注意總結兩種求最值的方法