Question

6．若橢圓$\frac{x^2}{{{m^2}+1}}+{y^2}=1$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則它的長半軸長為4．

Answer 1

分析 由題意可知：m²+1＞1，則橢圓的焦點在x軸上，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：m²=3，它的長半軸長2a=4．

解答 解：由題意可知：m²+1＞1，則橢圓的焦點在x軸上，
即a²=m²+1，b=1，則c=m²+1-1=m²，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{{m}^{2}+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，解得：m²=3，
則a=2，
它的長半軸長2a=4，
故答案為：4．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查計算能力，屬于基礎題．