Question

14．已知函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）．
（1）證明f（x）為增函數
（2）若f（3x）＞f（x+1），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義證明函數在（1，+∞）上是增函數即可；
（2）根據函數f（x）的單調性求出關于x的不等式組，解出即可．

解答 （1）證明：設x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，得
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
∵x₁＞1，x₂＞1
∴x₁x₂＞1，得$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$∈（0，1），1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
又∵x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0
∴（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
綜上所述，可得：函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函數；
（2）若f（3x）＞f（x+1），
由f（x）在（1，+∞）遞增，
則$\left\{\begin{array}{l}{3x＞1}\\{x+1＞1}\\{3x＞x+1}\end{array}\right.$，解得：x＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題給出函數f（x）=x+$\frac{1}{x}$，要求我們用單調性的定義證明函數在（1，+∞）上是增函數．著重考查了用定義證明函數的單調性的一般方法，屬于中檔題．