Question

10．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，圓C₂的極坐標方程為$ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，已知C₁與C₂交于A，B兩點，點B位于第一象限．
（Ⅰ）求點x和點y的極坐標；
（Ⅱ）設圓C₁的圓心為C₁，點P是直線BC₁上的動點，且滿足$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，若直線C₁P的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}λ}\\{y=1+\frac{1}{2}λ}\end{array}$（λ為參數），則m：λ的值為多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）聯立C₁與C₂的極坐標方程$\left\{\begin{array}{l}ρ=4sinθ\\ ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）\end{array}\right.$，求解即可得到結果．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得點B的直角坐標為$B（\sqrt{3}，1）$，將圓C₁的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心C₁（0，2），設點P對應的參數為λ，可得$P（\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，1+\frac{1}{2}λ）$，利用$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{B{C_1}}$，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）聯立C₁與C₂的極坐標方程$\left\{\begin{array}{l}ρ=4sinθ\\ ρ=4cos（θ+\frac{π}{6}）\end{array}\right.$，得$4sinθ=4cos（θ+\frac{π}{6}）$，
當ρ=0時，得交點A極坐標為A（0，0），-------------------------------------（2分）
當ρ≠0時，化簡得$tanθ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，從而$θ=\frac{π}{6}$，ρ=2或$θ=\frac{7π}{6}$，ρ=-2（舍去），
∴點B的極坐標是$B（2，\frac{π}{6}）$．----------------------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得點B的直角坐標為$B（\sqrt{3}，1）$，
將圓C₁的極坐標方程化為直角坐標方程得x²+（y-2）²=4，
從而C₁的直角坐標為C₁（0，2），
設點P對應的參數為λ，即$P（\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，1+\frac{1}{2}λ）$，----------------------------（7分）
則$\overrightarrow{BP}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ，\frac{1}{2}λ）$，$\overrightarrow{B{C_1}}=（-\sqrt{3}，1）$，由$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{B{C_1}}$，得$\left\{\begin{array}{l}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}λ=-m\sqrt{3}\\ \frac{1}{2}λ=m\end{array}\right.$，
∴m：λ=1：2-----------------------------------------------------------（10分）

點評 本題考查直線的參數方程以及圓的極坐標方程的應用，與普通方程的互化，考查計算能力．