Question

18．已知過(guò)點(diǎn)A（1，$\frac{3}{2}$）的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，且AF所在直線(xiàn)的斜率為$\frac{3}{4}$．
（1）求橢圓的C的方程；
（2）若存在直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)M、N（均異于點(diǎn)A），使得∠MAN=90°，求證：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意，列出關(guān)于a，b，c的方程組，解得即可，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：x=my+n點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=0，求出x=m（y+$\frac{3}{14}$）+$\frac{1}{7}$，即可得到直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），則由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{\frac{3}{2}}{1+c}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
則橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
（2）設(shè)直線(xiàn)l：x=my+n點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線(xiàn)l與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得，（4+3m²）y²+8mny+3m²-12=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6mn}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{3{n}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$，①

同理可得：x₁+x₂=$\frac{8n}{3{m}^{2}+4}$，x₁x₂=$\frac{4{n}^{2}-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$，②，
又由∠MAN=90°，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=0，
∴（x₁-1，y₁-$\frac{3}{2}$）•（x₂-1，y₂-$\frac{3}{2}$）=x₁x₂-（x₁+x₂）+y₁y₂-$\frac{3}{2}$（y₁+y₂）+$\frac{13}{4}$=0③
將①②代入③整理得：3（$\frac{3}{2}$m+n）²+4（n-1）²-9m²-3=0，
也就是3（$\frac{3}{2}$m+n-1）（$\frac{3}{2}$m+n+1）+4（n-1-$\frac{3}{2}$m）（n-1+$\frac{3}{2}$m）=0，
由于點(diǎn)A不在直線(xiàn)l上，則$\frac{3}{2}$m+n-1≠0則，
3（$\frac{3}{2}$m+n+1）+4（n-1-$\frac{3}{2}$m）=0，整理n=$\frac{2+3m}{14}$，
則x=my+n=my+$\frac{2+3m}{14}$=m（y+$\frac{3}{14}$）+$\frac{1}{7}$，
所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)（$\frac{1}{7}$，-$\frac{3}{14}$）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了存在性問(wèn)題的求解方法，考查了數(shù)形結(jié)合的思想、推理能力和計(jì)算能力，屬難題．